Шутка гениев: флексагон
- 1) Дабы раскрыть флексагон, сожмите два соседних треугольника, прижмите к ним противоположный край и раскройте фигуру из центра 2) Дабы пройти по «пути Таккермана», раскрывайте фигуру, держась за один угол, пока она будет раскрываться. После этого последовательно переходите к следующему углу
- Тритетрафлексагон Самый первый флексагон с тремя поверхностями, изобретенный Артуром Стоуном, складывается из прямой полосы бумаги, поделенной на десять равносторонних треугольников (один помогает для склейки)
Рецепт тетрафлексагона Чёрный цвет обозначает лицевую сторону выкройки, яркий — обратную. Крайние квадраты склеиваются полосой скотча
- Флексокалейдоскоп Треугольники в сторонах гексагексафлексагона смогут поворачиваться к центру любым из трех углов. В сумме это дает 18 вариантов картины
Гексагексатрансформер Предлагаем вам вырезать хорошую прямую заготовку и сложить из нее гексагексафлексагон.
- Любая его поверхность содержит изображение робота-трансформера. Роботы различаются между собой выражением и цветом лица. Кое-какие из них будут попадаться вам довольно часто, найти вторых будет куда сложнее. Дабы повстречаться со всеми роботами, следуйте по «пути Таккермана» Собрать гексагексафлексагон весьма легко. Сперва направляться ориентироваться на совпадение пар с неспециализированными цветами. После этого необходимо складывать шестиугольник так, дабы на поверхности сложился рисунок одного цвета.
- Не забывайте, что флексагоны весьма требовательны к качеству сборки. Чем правильнее вы вырежете и сложите головоломку, тем лучше она будет трудиться
В статье использованы материалы книги Мартина Гарднера «развлечения и Математические головоломки». — М: Мир, 1971
Во второй половине 30-х годов двадцатого века британец Артур Стоун, двадцатитрехлетний аспирант-математик, лишь начинал собственную блистательную карьеру в Принстонском университете, штат Нью-Джерси. Среди других американских «странностей», к каким ему еще предстояло привыкнуть, был и необыкновенный стандарт Letter. Как-то раз, обрезая страницы А4 под новый формат, он принялся машинально складывать из обрезков различные фигуры.
Сложив полосу бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он взял равносторонний шестиугольник — оставалось лишь обрезать финиши по форме последней грани. Склеив финиши полосы, Стоун взял фигуру с очень интересными особенностями: подгибая один из углов шестиугольника к центру, возможно было раскрыть его, подобно бутону цветка.
По окончании каждого очередного раскрытия на свет оказалась новая поверхность, складывающаяся из шести треугольников, а прошлые шесть треугольников прятались в конструкции. Возможно было покрасить каждую поверхность определенной краской, и тогда с каждым переворотом фигура принимала один из трех цветов.
Стоуну сразу же пришла в голову идея, что возможно сложить и более сложный шестиугольник, в которого скрывается большее количество скрытых поверхностей. Он переспал ночь с данной идеей и убедился в правильности собственной предположения, выстроив фигуру с шестью чередующимися поверхностями. Почувствовав, что за таинственным шестиугольником прячется занимательная математическая теория, Стоун показал собственную поделку приятелям.
Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайант Таккерман и Джон Тьюки, которому кое-какие источники приписывают авторство слова «бит» (binary digit). Будущие светила науки планировали совместно в студенческой столовой и демонстрировали друг другу новые головоломки, каковые им получалось собрать.
Приятели назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от британского flex — сгибать). Шестиугольные флексагоны стали называться гексафлексагонов. Еще одна численная приставка означала порядок флексагона, другими словами число чередующихся поверхностей. В частности, первая созданная Артуром фигура была тригексафлексагоном, а конструкция с шестью поверхностями — гексагексафлексагоном.
Стоун, Таккерман, Фейнман и Тьюки не в серьез назвали себя «Флексагонным комитетом» и действительно взялись за изучение математических баз «флексологии». К 1940 году Фейнманом и Тьюки была создана безграничная теория флексагонов, которая разрешала выстроить флексагон с любым числом поверхностей и сторон всеми методами. Всецело этот труд так и не был опубликован, не смотря на то, что отдельные его положения потом были открыты вторыми учеными.
Строптивый калейдоскоп
Хороший гексагексафлексагон возможно сложить из прямой полосы бумаги. Полосу направляться разметить на 19 равносторонних треугольников. Треугольники возможно пометить цифрами с двух сторон в порядке, указанном на рисунке. Безлюдный треугольник на каждой стороне помогает для склейки. Полоса складывается так, дабы треугольники с однообразными цифрами на оборотной стороне накладывались друг на друга.
Оказавшуюся маленькую полосу перегибают в трех местах так, дабы оказался шестиугольник (совершенно верно так же складывают из ленты несложный тригексафлексагон). Оставшийся не у дел треугольник, помеченный цифрой 1, перегибается через грань и приклеивается к безлюдному треугольнику. Флексагон готов.
Любая поверхность флексагона складывается из шести треугольников. Дабы раскрыть флексагон, нужно забрать его двумя пальцами за несколько соседних треугольников и сложить их по линии сгиба. Второй рукой необходимо отогнуть противоположную несколько треугольников.
Флексагон явит миру собственную новую поверхность и запрячет прошлую. Играясь с фигурой, вы скоро найдёте, что кое-какие поверхности значительно тяжелее вызволить на свободу, нежели остальные. Время от времени вы станете блуждать по замкнутому кругу, натыкаясь только на привычную несколько «лиц» флексагона.
Брайант Таккерман вывел несложный метод нахождения всех поверхностей фигуры, известный как «путь Таккермана». Простое правило разрешает заметить все поверхности гексагексафлексагона всего за 12 раскрытий. направляться брать флексагон за одинаковый угол и открывать его, пока он раскрывается.
После этого возможно переходить к следующему углу по порядку.
Многообразие проявлений гексагексафлексагона вовсе не исчерпывается шестью цветами либо шестью цифрами, обозначающими поверхности. В случае если нанести на треугольники более замысловатую раскраску, возможно заметить, что любой из них может поменять ориентацию в собственной поверхности. Пометим углы каждого треугольника буквами A, B и C и проследуем по «пути Таккермана».
Мы заметим, как в центре одного и того же шестиугольника попеременно побывает любая из букв. Это дает нам по три варианта каждой поверхности. Итого для гексагексафлексагона мы имеем целых 18 вариантов рисунка поверхности.
В действительности для гексагексафлексагона, собранного из прямой полосы бумаги (вероятны и другие конструкции), число вариаций окажется немного меньше. Складывая флексагон, вы имеете возможность подметить, что четыре из его поверхностей складываются из шести треугольников, и вдобавок две — из трех параллелограммов. Эти последние поверхности не смогут изменяться и постоянно выглядят одинаково, что в итоге дает нам всего 15 комбинаций для гексагексафлексагона.
Данное свойство многократно применяли шутники-математики для собственных головоломок с картинами. Скажем, по окончании определенных стараний игрок имел возможность собрать четыре картины, развернув составляющие их треугольники в определенную сторону, и вдобавок одна картина, самая желанная (к примеру, фотография очаровательной девушки в бикини), никак не планировала воедино, не смотря на то, что все ее соблазнительные компоненты были четко видны.
Имеется у гексафлексагона и еще один секрет: три из шести его поверхностей смогут образовывать зеркально симметричные пары. К примеру, в случае если угол А одного из треугольников таковой поверхности находится в центре, то угол B может оказаться как справа, так и слева от него. Так мы приобретаем еще три общее число и дополнительные комбинации картинок поверхности гексагексафлексагона все же достигает 18.
Флексоконструктор
«Флексагонный комитет» весьма скоро нашёл метод делать из прямых либо зигзагообразных полос бумаги флексагоны с любым числом поверхностей. Таккерман сконструировал тетрагексафлексагон и пентагексафлексагон, и ухитрился соорудить действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Большая часть флексагонов возможно сложить различными методами из заготовок различной формы.
К примеру, гексагексафлексагон возможно сделать из прямой полосы бумаги, ленты, предварительно склеенной в форме шестиугольника, и причудливой ленты в форме восьмерки. С ростом порядка флексагона радикально возрастает и количество способов, которыми его возможно собрать. К примеру, для декафлексагона их число равняется 82.
Теория Фейнмана и Тьюки разрешает сконструировать флексагон любого заданного порядка всеми методами. Как мы знаем, что все флексагоны четного порядка делаются из двусторонних полос, а нечетные имеют только одну поверхность, подобно ленте Мёбиуса.
Не вдаваясь в теоретические подробности, приведем метод конструирования флексагона с заданным числом поверхностей. Для составления карты флексагона нам пригодятся базисные конструктивные элементы — громадные равносторонние треугольники со вписанными в них малыми равносторонними треугольниками (см. схему). Количество нужных базисных элементов равняется порядку флексагона минус два.
К примеру, для конструирования гексагексафлексагона нам пригодятся четыре элемента.
Расположим базисные элементы любым методом так, дабы их грани совпали, а вершины внутренних треугольников соединились. Разное размещение элементов даст нам различные варианты конструкции флексагона, но все они будут рабочими. Оказавшаяся фигура именуется сетью Тьюки.
У нее шесть граней, на каждой из них имеется «средняя точка». Обозначим одну из серединных точек цифрой 1 и пронумеруем все серединные точки по часовой стрелке. Сейчас, в случае если направляться от единицы по маршруту, проложенному сторонами внутренних треугольников, мы возьмём «код флексагона»: 1, 2, 6, 4, 3, 5.
Нарисуем таблицу из трех строчков и восьми столбцов (восемь — порядок флексагона плюс два). Внесем в нее оказавшийся код, проставляя цифры попеременно в верхнюю либо среднюю строчок, в шахматном порядке. Под (либо над) каждой цифрой проставьте число, большее на единицу. В случае если исходная цифра равна 6, ставьте 1. Оказавшаяся таблица представляет собой не что иное, как разметку треугольников будущей бумажной полосы.
Первая строка содержит разметку лицевой стороны, вторая строка — обратной. Последовательность из шести пар цифр обязана повториться три раза — для всех 18 треугольников гексафлексагона. Вспомогательные столбцы (7 и 8) показывают, как будет повторяться последовательность цифр: для флексагона нечетного порядка стороны поменяются местами.
Выберем одну из граней сети Тьюки и обозначим ее как «правая». Совершенно верно так же пометим все параллельные ей грани (в нашем случае такая всего одна). Остальные грани обозначим как «левые». Заполним оказавшимися значениями третью строчок в таблице. Сейчас мы готовы размечать бумажную полосу для постройки флексогона. Начнем с первого треугольника, вершина которого укажет нам путь «прямо».
Руководствуясь картой, следующий треугольник мы будем пристраивать к его правой либо левой стороне. Пройдя целый путь до конца, мы возьмём полосу в форме шестиугольника — одну из упомянутых выше допустимых заготовок для гексагексафлексагона. Остается обозначить все треугольники цифрами с двух сторон, снова же в соответствии с таблицей.
Складывая флексагон, начните с совмещения однообразных цифр, стоящих рядом на обратной стороне заготовки. Следуйте этому принципу, пока не получите готовый гексагексафлексагон.
След в истории
7 декабря 1941 года японцы ворвались в Перл-Харбор, и война разбросала участников «Флексагонного комитета» по свету. Потом Артур Стоун получил глобальную известность как эксперт в области топологии и создатель теоремы метризации, названной в его честь. Джон Тьюки получил титул магистра химии и докторскую степень по математике.
Он изобрел пара основополагающих способов современной статистики. Брайант Таккерман покинул большой след в информатике как один из соавторов симметричного метода защиты информации, в котором один ключ употребляется как для шифрования, так и для расшифровки данных. А Ричард Фейнман и вовсе не испытывает недостаток в представлении как обладатель премии Альберта Эйнштейна и Нобелевской премии по физике.
Много лет эти блестящие ученые желали снова собраться совместно, дабы написать несколько статей и покончить со всеми тайнами теории флексагонов. К сожалению, либо, наоборот, к счастью, этому замыслу не суждено было сбыться.
Видео к статье: ссылка
Конструктивный вопрос
- Конструируем флексагон
Флексагон — достаточно сложная конструкция, и чем больше поверхностей он содержит, тем сложнее собрать его так, дабы он вправду трудился. Правильная разметка и соответствующие ей сгибы — нужные условия для постройки действующей модели. Перед сборкой стоит перегнуть заготовку в обе стороны по всем линиям сгиба, дабы готовым флексагоном было комфортно пользоваться.
Совершенный материал для флексагоностроительства — бумажная лента для кассовых аппаратов: ее легко разметить на равносторонние треугольники циркулем. Папа Брайанта Таккермана, узнаваемый физик Луи Таккерман, применял для разметки ленты треугольную железную пластину: для получения заготовки, он просто оборачивал ленту около пластины необходимое количество раз.
Такое приспособление разрешало Таккерману-старшему скоро собирать самые различные модели и в следствии внести большой вклад в теорию флексагонов. Кое-какие любители собирают флексагоны не из бумаги, а из плотного картона либо кроме того металла, соединяя треугольники настоящими петлями.
Тетрафлексагон
компании и Стоуну удалось создать полную и безграничную теорию гекса—флексагонов. Как ни необычно, квадратные тетрафлексагоны, каковые выглядят куда несложнее шестиугольных собратьев, были куда более таинственными с позиций математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось.
Несложный представитель этого семейства — тритетрафлексагон — возможно легко сложить из полосы бумаги, складывающейся из шести квадратов. Достаточно сложить ее в трех местах, как продемонстрировано на рисунке, склеить флексагон «и» — пару двоек готов. Кстати, изобретение данной фигуры в собственности вовсе не Стоуну.
Оно уже пара столетий известно как шарнирное соединение двойного действия — петля, которая разрешает открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в ЖД вагонах). Тетратетрафлексагон возможно довольно часто встретить в роли головоломки либо рекламного буклета. Это связано с его особенным свойством: одну из поверхностей найти значительно сложнее, чем три вторых.
На этом свойстве основан ветхий фокус с «исчезающим» в недрах конструкции долларом.
Статья размещена в издании «Популярная механика» (№82, август 2009).
<
h4>